Cẩm Nang Vẽ Thêm Hình Phụ Trong Giải Toán Hình Học Phẳng (Bản Bìa Cứng)

Hình học là một trong những lĩnh vực cổ xưa nhất của Toán học, cùng với Số học đã xuất hiện trong thời kỳ sơ khai của loài người. Hình học có một vẻ đẹp kì diệu làm say mê từ những nhà toán học đến những em học sinh THCS.
Trong quá trình tìm kiếm lời giải hoặc có khi là tìm thêm lời giải khác, lời giải hay của một bài toán hình học việc vẽ thêm các yếu tố phụ giúp cho việc kết nối từ giả thiết đến kết luận của bài toán được dễ dàng hơn, thuận lợi hơn. Tuy nhiên vẽ thêm hình phụ như thế nào để có được lời giải đẹp là vấn đề khiến chúng ta phải đầu tư suy nghĩ. Thực tế cho thấy không có phương pháp chung cho việc vẽ thêm hình phụ khi giải các bài toán hình học. Tùy từng bài toán cụ thể mà chúng ta có những cách vẽ thêm hình phụ hợp lí để có thể đến với lời giải của bài toán. Sự xuất hiện của hình phụ đã thổi hồn vào lời giải của bài toán mà chắc hẳn cũng đã có lần chúng ta lúng túng, chật vật trước một bài toán hình học và rồi sẽ giật nảy mình khi phát hiện ra rằng chỉ cần vẽ thêm một yếu tố là đã đến được với lời giải bài toán. Cảm giác ấy thật là tuyệt vời mà chúng tôi nghĩ rằng không có một câu văn, vần thơ nào nào diễn tả được.
Vẽ thêm hình phụ là một sự sáng tạo “nghệ thuật” tùy theo yêu cầu của một bài toán cụ thể. Bởi vì việc vẽ thêm hình phụ cần đạt được mục đích là tạo điều kiện để giải được bài toán thuận lợi chứ không phải là công việc tùy tiện... Hơn nữa, việc vẽ thêm hình phụ phải tuân theo các phép dựng hình cơ bản và các bài toán dựng hình cơ bản.
Việc vẽ thêm hình phụ nhằm giúp ba vấn đề cơ bản sau:
1. Giúp giải được một số bài toán hình học mà nếu không vẽ thêm hình phụ sẽ bế tắc.
2. Trình bày lời giải một số bài toán hình học được gọn hơn, hay hơn.
3. Phát hiện những vấn đề mới chưa được học bằng những vốn kiến thức hạn chế mà mặc dầu sau này các vấn đề đó khi học đến đều có thể là đơn giản.
G.Polya (1887 – 1985) – nhà toán học và là nhà sư phạm Mỹ gốc Hungary, đã khuyên rằng: “Những ý nghĩ dẫn ta tới việc đưa vào những phần tử phụ, có thể rất khác nhau. Thật là vui mừng nếu như ta nhớ lại được một bài toán tương tự với bài toán của chúng ta và đã giải rồi. Rất có thể là bài toán đó được dùng tới, nhưng ta còn chưa biết phải làm như thế nào. Chẳng hạn, ta đang cố giải một bài toán hình. Giả sử trong một bài toán tương tự nào đó trước đây đã giải rồi mà ta nhớ lại được là có nói đến những tam giác nào đó.
Trong khi đó thì trên hình vẽ của ta không có một tam giác nào cả. Để có thể lợi dụng bài toán phụ đã tìm thấy thì hình vẽ của ta phải có chứa một tam giác. Như vậy, chúng ta phải đưa vào một tam giác như thế bằng cách bổ sung hình vẽ, bằng những đoạn thẳng phụ thích hợp. Nói chung, nếu chúng ta sớm nhớ được cách giải của một bài toán tương tự và muốn lợi dụng nó để giải bài toán đã cho thì nên đặt câu hỏi: Nên đưa vào phần tử nào để có thể lợi dụng được vào bài toán trước đây?
Bằng cách trở lại các định nghĩa, chúng ta cũng thấy sự tất yếu phải đưa vào những phần tử phụ. Chẳng hạn, khi cho định nghĩa của đường tròn, chúng ta nhớ ngay tới tâm và bán kính của nó và chỉ rõ trên hình đang xét. Nếu không, ta không thể rút ra được một lợi ích cụ thể từ định nghĩa đó. Phát biểu định nghĩa mà không vẽ gì cả có nghĩa là nghiên cứu bằng lời nói suông.
Những cố gắng dùng kết quả đã biết và sự trở về với định nghĩa, là những lí do thông thường nhất buộc phải chỉ có vậy.
Quan điểm của ta về bài toán có thể thay đổi sau khi bài toán được bổ sung những phần tử mới, làm cho nó được đầy đủ hơn, liên hệ chặt chẽ hơn với những kiến thức có trước và có đủ khả năng gợi cho ta con đường đi tới cách giải.
Tuy nhiên, khi bổ sung những phần tử mới, chúng ta thường không hiểu rõ được ngay là có thể dùng chúng như thế nào.
Chúng ta chỉ cảm thấy rằng đã có được “một ý chói lọi” trong quan niệm mới về bài toán sau khi đã bổ sung những phần tử nhất định.
Cái lí do buộc phải đưa vào phần tử phụ nào đó có thể là khác nhau nhưng lí do đó là phải có. Không nên đưa vào những phần tử mà không có một lí do nào cả”.
(Polya. Giải một bài toán như thế nào? Nhà xuất bản giáo dục, năm 1997)
Trước đây chúng tôi đã giới thiệu cùng quý bạn đọc bộ sách Vẽ thêm yếu tố phụ để giải một số bài toán Hình học (lớp 7 xuất bản năm 2000 lớp 8 xuất bản năm 2001, lớp 9 xuất bản năm 2002), chúng tôi xin được trân trọng cảm ơn sự đón nhận nồng nhiệt của bạn đọc. Tuy nhiên vì nội dung của bộ sách này phải viết bám sát chương mục của sách giáo khoa nên có vài hạn chế. Uy lực của toán học, lòng yêu toán mảnh liệt, sự lao động nổ lực cùng với sự động viên chân tình của các đồng nghiệp, tôi xin trân trọng giới thiệu cùng quý bạn đọc quyển sách:
CẨM NANG VẼ THÊM HÌNH PHỤ TRONG GIẢI TOÁN HÌNH HỌC PHẲNG
(Sách dùng cho học sinh các lớp 7; 8; 9)
Quyển sách gồm ba phần:  PHẦN I: CÁC KĨ THUẬT VẼ THÊM HÌNH PHỤ
KĨ THUẬT 1: Điểm
KĨ THUẬT 2: Đường thẳng
1. Vẽ thêm đường vuông góc     2. Vẽ thêm đường song song
3. Vẽ thêm tia phân giác của một góc     4. Vẽ thêm đường kính của đường tròn
5. Vẽ thêm tiếp tuyến của đường tròn     
6. Vẽ thêm tiếp tuyến chung của hai đường tròn tiếp xúc nhau
7. Vẽ thêm dây chung của hai đường tròn cắt nhau.
KĨ THUẬT 3: Tam giác vuông cân, tam giác đều, hình bình hành, đường tròn
1. Vẽ thêm tam giác vuông cân, tam giác đều.     2. Vẽ thêm hình bình hành.
3. Vẽ thêm đường tròn.
KĨ THUẬT 4. Hình duy nhất
Trong phần này chúng tôi vắn tắt phương pháp của các kĩ thuật và minh họa bởi các ví dụ là các bài toán được chúng tôi gợi ý tìm tòi hình phụ cần vẽ thêm và sau đó trình bày lời giải chi tiết.
PHẦN II. CÁC BÀI TOÁN RÈN LUYỆN
A. Các bài toán lớp 7     B. Các bài toán lớp 8     C. Các bài toán lớp 9     D. Các bài toán thi
Các bài toán trong phần này chúng tôi sẽ giúp các bạn học sinh có lời giải hoặc hướng dẫn giải. Vì lý do nào mà chọn hình phụ để có được lời giải này? Câu trả lời xin dành cho các bạn.
PHẦN III. TRAO ĐỔI THÊM VỀ VẼ HÌNH PHỤ
Trong phần này tôi sẽ giới thiệu cùng quý bạn đọc các bài viết của tôi đã được chọn đăng trên các tạp chí. Toán học và tuổi trẻ, Toán tuổi thơ, Thế giới trong ta;...
Cùng với các bài viết của các thầy giáo và các bạn học sinh đã từng cùng tôi giảng dạy, nghiên cứu và học tập.
Các bạn sẽ nhận ra rằng quyển sách có các bài toán được vận dụng các kĩ thuật vẽ thêm hình phụ khác nhau nên cho cách giải khác nhau, điều này nhằm tăng thêm tính hấp dẫn của việc vẽ thêm hình phụ và đồng thời giúp tạo niềm tin về tính đúng đắn của các cách giải của bài toán.
Trong quyển sách các bạn sẽ nhận ra rất nhiều bài toán có lời giải mới rất đặc sắc và nhiều bài toán thi chọn học sinh giỏi THPT được giải bằng kiến thức THCS thật ngắn gọn và sáng tạo.
Tôi xin kính tặng quyển sách này cho ba má tôi, những bậc sinh thành đã nuôi nấng dạy dỗ tôi nên người đã ban tặng tôi sức khỏe và trí tuệ, xin được kính tặng Phó giáo sư Hoàng Chúng, người thầy tôn kính mà vào năm 1993 đã thổi bùng thêm ngọn lửa yêu toán trong tôi. Tôi xin chân thành cảm ơn các tác giả của các bài toán, các bài báo, các quyển sách mà tôi đã tham khảo để viết quyển sách này, xin được cảm ơn các thầy cô giáo, các bạn bè ở TP Hà Nội, Tỉnh Bình Định, Tỉnh Quảng Ngãi, Tỉnh Vĩnh Long, TP. Hồ Chí Minh đã động viên cung cấp tư liệu để quyển sách được hoàn chỉnh hơn.
Mặc dù chúng tôi đã có rất nhiều cố gắng trong biên soạn nhưng vì để hoàn thành bản thảo với nhiều trang nên chắc hẳn còn những sai sót. Rất mong nhận được các ý kiến đóng góp từ bạn đọc gần xa.
Trân trọng cảm ơn.
                                                                                                                                                                                                      TÁC GIẢ